حل تمرین صفحه 89 ریاضی هفتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 89 - تمرین 1 این تمرین به شما کمک می‌کند تا قوانین مهم **توان صفر** و **توان اعداد منفی** را به خوبی درک کنید. برای هر عبارت، ابتدا حاصل هر دو طرف را حساب می‌کنیم. ### ۱. $(۳+۲)^۰ = ۲^۰+۳^۰$ * **سمت چپ:** ابتدا داخل پرانتز را محاسبه می‌کنیم: $$(۳+۲)^۰ = (۵)^۰ = ۱$$ (هر عدد غیر صفر به توان صفر برابر ۱ است.) * **سمت راست:** توان صفر را برای هر عدد محاسبه می‌کنیم: $$۲^۰ + ۳^۰ = ۱ + ۱ = ۲$$ * **نتیجه:** $۱ \neq ۲$. پس عبارت **نادرست** است. * **علت نادرستی:** توان صفر فقط حاصل کل پرانتز را ۱ می‌کند، نه اینکه روی هر جمله به صورت مجزا اعمال شود و حاصل آن‌ها با هم جمع شود. $$(a+b)^n \neq a^n+b^n$$ ### ۲. $$\left(\frac{۱}{۲}\right)^۲ > \left(-\frac{۱}{۲}\right)^۲$$ * **سمت چپ:** توان زوج روی کسر مثبت: $$\left(\frac{۱}{۲}\right)^۲ = \frac{۱}{۴}$$ (یک چهارم) * **سمت راست:** توان زوج روی کسر منفی: $$\left(-\frac{۱}{۲}\right)^۲ = \left(-\frac{۱}{۲}\right) \times \left(-\frac{۱}{۲}\right) = \frac{۱}{۴}$$ (چون توان زوج است، علامت منفی از بین می‌رود.) * **نتیجه:** $$\frac{۱}{۴} = \frac{۱}{۴}$$ . پس عبارت **نادرست** است. (علامت مقایسه باید مساوی باشد، نه بزرگتر) * **علت نادرستی:** حاصل هر دو طرف برابر است، زیرا توان‌های زوج، علامت منفی را از بین می‌برند. ### ۳. $$\left(-\frac{۲}{۳}\right)^۰ + \left(\frac{۱}{۳}\right)^۰ > ۱$$ * **سمت چپ:** هر دو عبارت به توان صفر رسیده‌اند. (پایه غیر صفر است) $$\left(-\frac{۲}{۳}\right)^۰ + \left(\frac{۱}{۳}\right)^۰ = ۱ + ۱ = ۲$$ * **مقایسه:** $۲ > ۱$ * **نتیجه:** عبارت **درست** است. ### ۴. $۴ + ۲^۰ = ۶$ * **سمت چپ:** ابتدا توان را محاسبه می‌کنیم: $$۴ + ۲^۰ = ۴ + ۱ = ۵$$ * **مقایسه:** $۵ \neq ۶$ * **نتیجه:** عبارت **نادرست** است. * **علت نادرستی:** $۲^۰$ برابر ۱ است، نه ۲. (اشتباه رایج در محاسبه توان صفر) ### ۵. $۲^۰ + ۳^۰ + ۵^۰ = ۱$ * **سمت چپ:** هر سه عدد به توان صفر رسیده‌اند: $$۲^۰ + ۳^۰ + ۵^۰ = ۱ + ۱ + ۱ = ۳$$ * **مقایسه:** $۳ \neq ۱$ * **نتیجه:** عبارت **نادرست** است. * **علت نادرستی:** حاصل جمع توان‌ها برابر با تعداد جملات است، نه ۱. ### ۶. $۴ < (-۲)^۳$ * **سمت راست:** پایه منفی با توان فرد. حاصل منفی است: $$(-۲)^۳ = (-۲) \times (-۲) \times (-۲) = -۸$$ * **مقایسه:** $۴ < -۸$ * **نتیجه:** عبارت **نادرست** است. * **علت نادرستی:** عدد ۴ مثبت است و بزرگتر از عدد منفی ۸- است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 89 - فعالیت 2 این فعالیت مفهوم **ارزش مکانی** اعداد را با استفاده از **توان‌های عدد ۱۰** (که به آن **نمایش علمی** یا **گسترده نویسی توانی** می‌گویند) آموزش می‌دهد. هر رقم در یک عدد، در توانی از ۱۰ ضرب می‌شود که نشان‌دهنده ارزش مکانی آن است. ### الف) محاسبه حاصل عبارت‌ها **قانون توان‌های ۱۰:** * $۱۰^۰ = ۱$ * $۱۰^۱ = ۱۰$ * $۱۰^۲ = ۱۰۰$ * $۱۰^۳ = ۱,۰۰۰$ 1. **عبارت اول:** $$\text{حاصل} = ۲ \times ۱۰^۳ + ۴ \times ۱۰^۲ + ۷ \times ۱۰^۱ + ۲ \times ۱۰^۰$$ $$\text{حاصل} = ۲ \times ۱۰۰۰ + ۴ \times ۱۰۰ + ۷ \times ۱۰ + ۲ \times ۱$$ $$\text{حاصل} = ۲۰۰۰ + ۴۰۰ + ۷۰ + ۲ = ۲۴۷۲$$ 2. **عبارت دوم:** $$\text{حاصل} = ۵ \times ۱۰^۳ + ۰ \times ۱۰^۲ + ۱ \times ۱۰^۱ + ۹ \times ۱۰^۰$$ $$\text{حاصل} = ۵ \times ۱۰۰۰ + ۰ \times ۱۰۰ + ۱ \times ۱۰ + ۹ \times ۱$$ $$\text{حاصل} = ۵۰۰۰ + ۰ + ۱۰ + ۹ = ۵۰۱۹$$ ### ب) گسترده نویسی و نمایش توانی گسترده نویسی یعنی نوشتن عدد به صورت جمع حاصل ضرب هر رقم در ارزش مکانی آن. 1. **عدد ۴۲۳۰۵:** (۴ ده‌هزارتایی، ۲ هزارتایی، ۳ صدتایی، ۰ دهتایی، ۵ یکی) $$\text{گسترده} = ۴۰۰۰۰ + ۲۰۰۰ + ۳۰۰ + ۰ + ۵$$ $$\text{توانی} = ۴ \times ۱۰^۴ + ۲ \times ۱۰^۳ + ۳ \times ۱۰^۲ + ۰ \times ۱۰^۱ + ۵ \times ۱۰^۰$$ 2. **عدد ۹۲۰۷:** (۹ هزارتایی، ۲ صدتایی، ۰ دهتایی، ۷ یکی) $$\text{گسترده} = ۹۰۰۰ + ۲۰۰ + ۰ + ۷$$ $$\text{توانی} = ۹ \times ۱۰^۳ + ۲ \times ۱۰^۲ + ۰ \times ۱۰^۱ + ۷ \times ۱۰^۰$$ **نکته:** معمولاً جملاتی که ضریب صفر دارند ($۰ \times ۱۰^n$) را می‌توان حذف کرد، اما نوشتن آن‌ها برای نشان دادن ارزش مکانی‌های خالی مفید است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 89 - تمرین 3 این تمرین یک مقایسه جالب بین دو نوع تابع نمایی (Exponential Function) انجام می‌دهد. در $۴^n$، پایه ثابت (۴) و توان متغیر است. در $n^۴$، پایه متغیر و توان ثابت (۴) است. این مقایسه نشان می‌دهد که در بلند مدت، توابع با پایه ثابت بزرگتر (مانند $۴^n$) رشد بسیار سریع‌تری دارند. ### الف) تکمیل جدول ($n=۱$ تا $n=۵$) | $n$ | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **$۴^n$** | $۴^۱ = ۴$ | $۴^۲ = ۱۶$ | $۴^۳ = ۶۴$ | $۴^۴ = ۲۵۶$ | $۴^۵ = ۱,۰۲۴$ | | **$n^۴$** | $۱^۴ = ۱$ | $۲^۴ = ۱۶$ | $۳^۴ = ۸۱$ | $۴^۴ = ۲۵۶$ | $۵^۴ = ۶۲۵$ | **نتیجه‌گیری از جدول:** * برای $n=۱$: $۴^n > n^۴$ ($۴ > ۱$) * برای $n=۲$: $۴^n = n^۴$ ($۱۶ = ۱۶$) * برای $n=۳$: $۴^n < n^۴$ ($۶۴ < ۸۱$) * برای $n=۴$: $۴^n = n^۴$ ($۲۵۶ = ۲۵۶$) * برای $n=۵$: $۴^n > n^۴$ ($۱,۰۲۴ > ۶۲۵$) ### ب) مقایسه برای $n=۱۰$ برای $n=۱۰$، باید ببینیم کدام عبارت بزرگتر است: 1. **محاسبه $۴^{۱۰}$ (پایه ثابت):** $$۴^{۱۰} = (۲^۲)^{۱۰} = ۲^{۲۰} = ۱,۰۴۸,۵۷۶$$ 2. **محاسبه $۱۰^۴$ (توان ثابت):** $$۱۰^۴ = ۱۰ \times ۱۰ \times ۱۰ \times ۱۰ = ۱۰,۰۰۰$$ * **مقایسه:** $۱,۰۴۸,۵۷۶$ در مقابل $۱۰,۰۰۰$ * **نتیجه:** برای $n=۱۰$، عبارت **$۴^n$** ($۴^{۱۰}$) بسیار بزرگتر از عبارت **$n^۴$** ($۱۰^۴$) است. این نشان می‌دهد که رشد نمایی (وقتی متغیر در توان است) بسیار سریع‌تر از رشد چندجمله‌ای (وقتی متغیر در پایه است) است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 89 - تمرین 4 این تمرین به شما دو روش اصلی برای محاسبه توان در ریاضیات را یادآوری می‌کند: **استفاده از ماشین‌حساب** و **محاسبه دستی با ضرب تکراری**. ### ۱. روش استفاده از ماشین‌حساب ($x^y$) در ماشین‌حساب‌ها، کلید $x^y$ به معنای "**پایه** به توان **توان**" است. شما باید به ترتیب زیر عمل کنید: $$\text{پایه } (x) \rightarrow x^y \rightarrow \text{توان } (y) \rightarrow \text{=}$$ برای مثال $۲^۳$: $$\text{۲ } \rightarrow x^y \rightarrow \text{۳ } \rightarrow \text{= } \rightarrow ۸$$ ### ۲. راه دیگر برای پیدا کردن جواب $۲^۳$ راه دیگر، استفاده از تعریف اصلی توان است: **ضرب تکراری پایه به تعداد توان**. $$۲^۳ = \underbrace{۲ \times ۲ \times ۲}_{۳ \text{ بار}} = ۸$$ **مزایای روش ضرب تکراری:** * به شما کمک می‌کند **مفهوم توان** را بهتر درک کنید. * برای توان‌های کوچک (مانند $۲^۳$ یا $۵^۲$) بسیار سریع‌تر از استفاده از ماشین‌حساب است. * در صورت عدم دسترسی به ماشین‌حساب، این تنها راه حل است. **نکته آموزشی:** همیشه باید از روش ضرب تکراری برای فهم عمیق ریاضی استفاده کنید و از ماشین‌حساب تنها برای تأیید پاسخ یا محاسبات بزرگ کمک بگیرید.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 89 - تمرین 5 این تمرین به شما یاد می‌دهد که چگونه باید **مقدار عددی یک عبارت جبری** را با جایگذاری متغیرها محاسبه کنید. مهم است که جایگذاری اعداد منفی را حتماً با **پرانتز** انجام دهید تا در توان رساندن دچار اشتباه نشوید. ### ۱. محاسبه عبارت اول: $a^۲ - b^۲ + ab$ جایگذاری $a = -۲$ و $b = ۲$: $$\text{مقدار } = (-۲)^۲ - (۲)^۲ + (-۲)(۲)$$ **گام ۱: محاسبه توان‌ها** * $(-۲)^۲ = (-۲) \times (-۲) = ۴$ * $(۲)^۲ = ۲ \times ۲ = ۴$ **گام ۲: محاسبه ضرب** * $(-۲)(۲) = -۴$ **گام ۳: جایگذاری و محاسبه نهایی** $$\text{مقدار } = ۴ - ۴ + (-۴) = ۰ - ۴ = -۴$$ ### ۲. محاسبه عبارت دوم: $a^۳ - ۲b^۲ + a^۲b$ جایگذاری $a = ۱$ و $b = -۲$: $$\text{مقدار } = (۱)^۳ - ۲(-۲)^۲ + (۱)^۲(-۲)$$ **گام ۱: محاسبه توان‌ها** * $(۱)^۳ = ۱$ * $(-۲)^۲ = (-۲) \times (-۲) = ۴$ * $(۱)^۲ = ۱$ **گام ۲: محاسبه ضرب‌ها (با رعایت ترتیب عملیات)** * $$۲(-۲)^۲ = ۲ \times ۴ = ۸$$ * $$(۱)^۲(-۲) = ۱ \times (-۲) = -۲$$ **گام ۳: جایگذاری و محاسبه نهایی** $$\text{مقدار } = ۱ - ۸ + (-۲) = ۱ - ۸ - ۲ = -۷ - ۲ = -۹$$ | عبارت | مقدار عددی | | :---: | :---: | | $a^۲ - b^۲ + ab$ | $-۴$ | | $a^۳ - ۲b^۲ + a^۲b$ | $-۹$ |